/** # Resolution of Advection equation in 1D All the problem consists to solve $$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F(U)}{\partial x} = 0$$ the advection equation. We consider here the simple case $F=U$ Space is decomposed in small sgments of a priori different length, but here we suppose that the length is a constant $\Delta x$. The same for time increment: $\Delta t$ is constant. Those small segments are kind of "volumes", as we are in dimension one. Consider the system $$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F(U)}{\partial x} = 0$$ and integrate in $x$ on a small interval between $x_i-\Delta x /2$ and $x_{i}+\Delta x /2$ and consider two times $t^n$ and $t^{n+1}$. A mean value of $U$ around $x_i$ between $x_i-\Delta x /2$ and $x_i+\Delta x/2$ may be defined as $U_i^n$ the integral between $x_i-\Delta x /2$ and $x_i+\Delta x/2$ is so by definition $$U_i^n =\dfrac{1}{\Delta x} \int_{x_{i}-\Delta x /2}^{x_{i}+\Delta x /2} U(x,t_n)dx$$ index $i$ is for the segment $C_i=(x_{i}-\Delta x /2,x_{i}+\Delta x /2)$, centered in $x_{i}$ index $n$ corresponds to time $t_n$ with $t_{n+1}-t_{n}=\Delta t$. So that with the definition: $$U_i^{n+1} =\dfrac{1}{\Delta x} \int_{x_{i}-\Delta x /2}^{x_{i}+\Delta x /2} U(x,t_{n+1})dx$$ Hence by the integration on the "segment/ Volume" of $$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F(U)}{\partial x} = 0$$ we have if we integrate : $\int_{x_i-\Delta x /2}^{x_{i}+\Delta x/2} \frac{\partial U}{\partial t} dx =\frac{d}{dt} \int_{x_{i}-\Delta x /2}^{x_{i}+\Delta x /2} U dx$ and for the flux $\int_{x_{i}-\Delta x /2}^{x_{i}+\Delta x /2} \partial_x F(U) dx = F^n_{i+1}-F^n_{i}.$ This is $\frac{d}{dt} \int_{x_{i}-\Delta x/2}^{x_{i}+\Delta x/2} U dx = F^n_{i+1}-F^n_{i}.$ We write it as: $$\frac{d}{dt}(\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{i}-\Delta x/2}^{x_{i}+\Delta x/2} U dx ) + \frac{F^n_{i+1}-F^n_{i}}{\Delta x}=0.$$ This is an "exact" integration from the flux on the "volume" for the mean value. That is the finite volume method. Taylor expansion: $$U(t + \Delta t) = U(t )+\Delta t \partial_t U + (1/2)(\Delta t)^2 \partial^2_t U +O(\Delta t)^3,$$ allows us to write the approximation (at first order in time) $$\dfrac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{\Delta t}+\dfrac{F^n_{i+1}-F^n_{i}}{\Delta x}=0,$$ Numerical flux $F_{i+1}$ is an approximation of $F(U)$ at right interface of segment $C_i$ centered in $i$. It is a function of the value of $U_i$ in the considered segment, which begins in $i-1/2$ and of the value $U_{i+1}$ from the next one which begins in $i+1/2$: ~~~gnuplot set samples 9 set label "U i-1" at 1.5,3.1 set label "U i" at 2.5,3.15 set label "U i+1" at 3.5,2.5 set xtics ("i-2" 0.5, "i-1" 1.5, "i" 2.5,"i+1" 3.5,"i+2" 4.5,"i+3" 5.5) set arrow from 2,1 to 2.5,1 set arrow from 3,1 to 3.5,1 set label "F i" at 2.1,1.25 set label "F i+1" at 3.1,1.25 set label "x i-1/2" at 1.5,0.25 set label "x i" at 2.4,0.25 set label "x i+1/2" at 3.,0.25 set label "x" at 0.5,2+sin(0) set label "x" at 1.5,2+sin(1) set label "x" at 2.5,2+sin(2) set label "x" at 3.5,2+sin(3) set label "x" at 4.5,2+sin(4) set label "x" at 5.5,2+sin(5) p[-1:7][0:4] 2+sin(x) w steps not,2+sin(x) w impulse not linec 1 ~~~ The numerical flux across face i+1/2 is denoted $F_{i+1}$ (or $F^n_{i+1}$ at time $n$), it is function (say $f$) of values before and after the face (i+1) which are $U_i$ and $U_{i+1}$ $$F_{i+1}=f(U_i,U_{i+1}).$$ The position of the center of the cell is $x_{i}$. So, if the length of domain is $L$, and if the domain starts in $x_0$, and if we take $N$ points, hence $\Delta x=L/N$ faces are $x_0 + (i-1) \Delta x$. A the center of the cell, $x_{i}=x_0 + (i-1/2) (\Delta x)$, we have the mean value $U^n_i$. The finite volume method is $$\dfrac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{\Delta t}+\dfrac{F^n_{i+1}-F^n_{i}}{\Delta x}=0,$$ It is explicit: compute new values $U_i^{n+1}$ as a function of the old ones $U_i^{n}$ . Nota 1: Do not confuse the $f(,)$ function, numerical flux across face $F_i$ and actual flux function $F$ comming from the physics. Nota 2: Attention, cette présentation est simplifiée, dans la version complète de Basilisk, les faces sont traîtées avec "foreach_face()" et les "face vector" Nota 3: Presentation may defer by changing from $x_i$ to $x_{i+1/2}$ ### Flux avec la moyenne Il faut maintenant trouver la bonne approximation de $f$. Le plus simple serait de prendre la moyenne des valeurs (LeVeque) $$F_{i}=f(U_{i-1},U_{i})=\dfrac{F(U_{i-1})+F(U_i)}{2}$$ d'où $$U_i^{n+1}=U_i^{n} -{\Delta t} \dfrac{F(U_{i+1})-F(U_{i-1})}{2 \Delta x}$$ mais c'est une mauvaise idée... car la méthode est instable (toute perturbation se trouve amplifiée) . ### Flux "Lax-Friedrich" Une technique classique pour stabiliser est "Lax-Friedrich". Mais ensuite nous passerons à une méthode plus efficace (flux dépendants des valeurs propres du sytème, Rusanov et HLL). En effet, on peut stabiliser le schéma instable $$U_i^{n+1}=U_i^{n} -{\Delta t} \dfrac{F(U_{i+1})-F(U_{i-1})}{2 \Delta x}$$ si on remplace $U_i^{n}$ par une moyenne $(U_{i+1}^{n} + U_{i-1}^{n})/2$, on obtient le schéma de Lax-Friedrich $$U_i^{n+1}=\frac{1}{2}(U_{i+1}^{n} + U_{i-1}^{n}) - \dfrac{\Delta t}{2 \Delta x}({F(U_{i+1})-F(U_{i-1})})$$ Cette expression a le mérite d'introduire une diffusion numérique qui tue l'instabilité, en effet en repassant au développement de Taylor: $$\frac{1}{2}(U_{i+1}^{n} + U_{i-1}^{n}) -U_i^n = \dfrac{\Delta x^2}{2} \partial_x^2 U^n+...$$ si on repasse à la description continue, $$U_i^{n+1}=U_i^{n} -{\Delta t} \dfrac{F(U_{i+1})-F(U_{i-1})}{2 \Delta x} + \dfrac{\Delta x^2}{2} \partial_x^2 U^n+...$$ on obtient un terme de diffusion pour l'équation continue associée: $$\partial_t U+\partial_x F(U)=\frac{\Delta x^2}{2 \Delta t} \partial_x^2 U$$ Ayant compris cet intéret stabilisateur, l'expression de Lax-Friedrich peut s'obtenir en choisissant le flux numerique de la forme suivante: $$F_i=f(U_{i-1},U_{i})=\dfrac{F(U_{i-1})+F(U_i)}{2} % - c_\Delta ({F(U_{i+1})-F(U_{i-1})}) - c_\Delta \frac{({(U_{i})-(U_{i-1})})}{2}$$ avec $c_\Delta=\frac{\Delta x}{\Delta t}$. En effet, substituant cette expression du flux numérique dans le schéma explicite des volumes finis: $$U_i^{n+1}=U_i^{n} -{\Delta t} \dfrac{F^n_{i+1}-F^n_{i}}{\Delta x}$$ on retrouve bien l'expression avec la moyenne de Lax-Friedrich. On va voir que cette forme est presque la bonne si on prend un $c_\Delta$ mieux adapté. Plusieurs flux, peuvent être employés, nous utiliserons les plus simples. ### Flux upwind Prenons la forme précédente avec $c_\Delta=dF/dU$ $$F_i=f(U_{i-1},U_{i})=\dfrac{F(U_{i-1})+F(U_i)}{2} - c_\Delta \frac{({(U_{i})-(U_{i-1})})}{2}$$ nous allons voir ici que c'est le meilleur choix. Le théorème de Lax dit que pour résoudre un problème d'EDP (comme ici) pour lequel on a posé un schéma numérique consistant (qui retrouve bien l'équations aux dérivées partielles, quand les pas de discrétisation ($\Delta t,\Delta x$, etc.) tendent tous vers 0), la stabilité du schéma est une condition nécessaire et suffisante pour assurer sa convergence. ## Code mandatory declarations: */ #include "grid/cartesian1D.h" #include "run.h" /** definition of the field h, the flux, its derivative, time step and */ scalar U[]; scalar F[]; double dt; double cDelta; /** Boundary conditions */ U[left] = neumann(0); U[right] = neumann(0); /** Main with definition of parameters */ int main() { L0 = 12.; X0 = -L0/4; N = 64; DT = (L0/N)/2; run(); } /** initial elevation: an exponential "bump" */ event init (t = 0) { foreach() U[] = exp(-x*x); boundary ({U}); } /** print data first point is in X0+1/2*(L0/N)), ith point is in X0+(i-1/2)*(L0/N)), last point is X0+(N-1/2)*(L0/N)) which is X0+L0-1/2*(L0/N)) */ event printdata (t += 1; t <=3) { foreach() fprintf (stdout, "%g %g %g \n", x, U[], t); fprintf (stdout, "\n\n"); } /** integration */ event integration (i++) { double dt = DT; /** finding the good next time step */ dt = dtnext (dt); /** Pour fixer les idées, dans le cas de l'équation d'advection simple $$\partial_t U+\partial_x (U)=0$$ on a $F(U)=U$, la valeur propre est $dF/dU=1$ tout simplement, si on utilise le flux $$F_{i}= \dfrac{U_{i-1}+U_i}{2} -c_\Delta (\dfrac{U_{i}-U_{i-1}}{2})$$ avec $c_\Delta=0$ valeurs moyenne pour le flux, ou $c_\Delta=\dfrac{\Delta x}{ \Delta t}$ cas Lax Wendrof, ou si on prend $c_{\Delta}=1$, c'est le flux upwind: et le nouvel $U$ $$U_i^{n+1}=U_i^{n} -{\Delta t} \dfrac{(F_{i+1}-F_{i})}{ \Delta x}$$ Expression of the flux : $$F_i=f(U_{i-1},U_{i})=\dfrac{F(U_{i-1})+F(U_i)}{2} % - c_\Delta ({F(U_{i+1})-F(U_{i-1})}) - c_\Delta \frac{({(U_{i})-(U_{i-1})})}{2}$$ avec dans le cas Lax $c_\Delta=\Delta/\Delta t$ dans le cas centré $c=0$ dans le cas upwind $c=1$ */ foreach() { //cDelta = Delta/dt; // cDelta = 0; cDelta = 1; F[] = (U[0,0]+U[-1,0])/2. - cDelta *(U[0,0]-U[-1,0])/2;} boundary ({F}); /** explicit step update $$U_i^{n+1}=U_i^{n} -{\Delta t} \dfrac{F(U_{i+1})-F(U_{i})}{\Delta x}$$*/ foreach() U[] += - dt* ( F[1,0] - F[0,0] )/Delta; boundary ({U}); } /** ## Run Then compile and run: ~~~bash qcc -g -O2 -DTRASH=1 -Wall advecte1.c -o advecte1 ;./advecte1 > out ~~~ or better ~~~bash ln -s ../../Makefile Makefile make advecte1.tst;make advecte1/plots make advecte1.c.html ; open advecte1.c.html ~~~ ## Results The analytical solution is $$U(x,t) = exp(-(x-t)^2)$$ in gnuplot type ~~~bash U(x,t)= exp(-(x-t)*(x-t)) p'out' u ($1):($2)t'num'w l,'' u 1:(U($1,$3)) t'exact' w l ~~~ which gives $U(x,t)$ plotted here for t=0 1 2 3 and \$-3